(49)王道数据结构-最短路径问题(Dijkstra)

基本概念

Dijkstra算法通过保留目前为止所找到的每个顶点v∈V从s到v的最短路径来工作。初始时，原点s的路径权重被赋为0(即原点的实际最短路径=0）。同时把所有其他顶点的路径长度设为无穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径[1]。当算法结束时，d[v] 中存储的便是从s到v的最短路径，或者如果路径不存在的话是无穷大。

操作步骤

原文链接:https://zhuanlan.zhihu.com/p/454373256

初始表格

步骤	S	v2	v3	v4	v5	v6
1	v1

• 集合S用来存储已经找到的最短路径
• v1到自己显然最短，故为初始最短路径

第一轮

从v1出发，计算v1到其他节点的距离(无法连接则用”无穷”符号)

步骤	S	v2	v3	v4	v5	v6
1	v1	10	∞	∞	∞	3

• 全表找最小值，发现v1到v6最短为3
• S中添加一条最短路径: v1-v6
• v6列标红不再考虑

v1-v6为新发现的最短路径

步骤	S	v2	v3	v4	v5	v6
1	v1	10	∞	∞	∞	3
2	v1-v6

第二轮

从v1-v6出发，计算v1通过v6到其他节点的距离

步骤	S	v2	v3	v4	v5	v6
1	v1	10	∞	∞	∞	3
2	v1-v6	5	∞	9	4

v1—v6到其它现存节点的距离（v6列已删除）

• 在全表中找到最小值(v6列已经删除),此时4为最小值,对应路径v1-v6-v5
• 添加最短路径v1-v6-v5
• v5列不再考虑

步骤	S	v2	v3	v4	v5	v6
1	v1	10	∞	∞	∞	3
2	v1-v6	5	∞	9	4
3	v1-v6-v5

第三轮

从v1—v6—v5出发，计算v1通过v6及v5到其它节点的距离

• 已知v1—v6—v5长度为4；
• 发现v5不能到现存的其它任何一个节点，因此距离全部为“无穷”

步骤	S	v2	v3	v4	v5	v6
1	v1	10	∞	∞	∞	3
2	v1-v6	5	∞	9	4
3	v1-v6-v5	∞	∞	∞

v1—v6—v5到其它现存节点的距离(v5，v6列已删除)

• 看全表(v5和v6已经删除)找最小值，5是最小值，对应的路径v1—v6—v2
• 添加最短路径v1—v6—v2
• v2列不再考虑

步骤	S	v2	v3	v4	v5	v6
1	v1	10	∞	∞	∞	3
2	v1-v6	5	∞	9	4
3	v1-v6-v5	∞	∞	∞
4	v1-v6-v2	∞	∞	∞

新最短路径：v1—v6—v2

第四轮

从v1—v6—v2出发，计算v1通过v6及v2到其它节点的距离

步骤	S	v2	v3	v4	v5	v6
1	v1	10	∞	∞	∞	3
2	v1-v6	5	∞	9	4
3	v1-v6-v5	∞	∞	∞
4	v1-v6-v2		12	10

v1—v6—v2到其它现存节点的距离(v2，v5，v6已删除)

• 遍历全表(v2，v5和v6已经删除)发现，9最小，对应的路径为v1—v6—v4
• 添加最短路径v1—v6—v4
• v4列不再考虑

步骤	S	v2	v3	v4	v5	v6
1	v1	10	∞	∞	∞	3
2	v1-v6	5	∞	9	4
3	v1-v6-v5	∞	∞	∞
4	v1-v6-v2		12	10
5	v1-v6-v4

新最短路径：v1—v6—v4

第五轮

从v1—v6—v4出发，计算v1通过v6及v4到其它节点的距离

步骤	S	v2	v3	v4	v5	v6
1	v1	10	∞	∞	∞	3
2	v1-v6	5	∞	9	4
3	v1-v6-v5	∞	∞	∞
4	v1-v6-v2		12	10
5	v1-v6-v4		13

计算v1—v6—v4到其它节点的距离(只剩v3列)

• 遍历全表发现，12是现存的最小值，对应v1——v6——v2——v3路径最短
• 添加最短路径v1——v6——v2——v3
• v3列不再考虑

步骤	S	v2	v3	v4	v5	v6
1	v1	10	∞	∞	∞	3
2	v1-v6	5	∞	9	4
3	v1-v6-v5	∞	∞	∞
4	v1-v6-v2		12	10
5	v1-v6-v4		13
6	v1-v6-v2-v3

添加最后一条最短路径：v1—v6—v2—v3

• 由于全部列已经删除，因此结束遍历

最终表格

步骤	S	v2	v3	v4	v5	v6
1	v1	10	∞	∞	∞	3
2	v1-v6	5	∞	9	4
3	v1-v6-v5	∞	∞	∞
4	v1-v6-v2		12	10
5	v1-v6-v4		13
6	v1-v6-v2-v3

• 每列的标红值，则为v1到该节点的最短距离；从S列中找结尾为该列的路径。
• 例如，v2列标红值为5，说明v1到v2的最短路径为5
• S中结尾为v2，对应的路径为v1—v6—v2

实现代码

/**
 * C: Dijkstra算法获取最短路径(邻接矩阵)
 */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <malloc.h>
#include <string.h>
#define MAX         100                 // 矩阵最大容量
#define INF         (~(0x1<<31))        // 最大值(即0X7FFFFFFF)
#define isLetter(a) ((((a)>='a')&&((a)<='z')) || (((a)>='A')&&((a)<='Z')))
#define LENGTH(a)   (sizeof(a)/sizeof(a[0]))

// 邻接矩阵
typedef struct _graph {
    char vexs[MAX];       // 顶点集合
    int vexnum;           // 顶点数
    int edgnum;           // 边数
    int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵
}Graph, *PGraph;

// 边的结构体
typedef struct _EdgeData {
    char start; // 边的起点
    char end;   // 边的终点
    int weight; // 边的权重
}EData;

/*
 * 返回ch在matrix矩阵中的位置
 */
static int get_position(Graph G, char ch){
    int i;
    for(i=0; i<G.vexnum; i++) {
        if(G.vexs[i] == ch) {
            return i;
        }
    }
    return -1;
}
/*
 * 读取一个输入字符
 */
static char read_char() {
    char ch;
    do {
        ch = getchar();
    } while(!isLetter(ch));

    return ch;
}

/*
 * 创建图(自己输入)
 */
Graph* create_graph() {
    char c1, c2;
    int v, e;
    int i, j, weight, p1, p2;
    Graph* pG;

    // 输入"顶点数"和"边数"
    printf("input vertex number: ");
    scanf("%d", &v);
    printf("input edge number: ");
    scanf("%d", &e);
    if ( v < 1 || e < 1 || (e > (v * (v-1)))) {
        printf("input error: invalid parameters!\n");
        return NULL;
    }
    if ((pG=(Graph*)malloc(sizeof(Graph))) == NULL ) {
        return NULL;
    }
    memset(pG, 0, sizeof(Graph));
    // 初始化"顶点数"和"边数"
    pG->vexnum = v;
    pG->edgnum = e;
    // 初始化"顶点"
    for (i = 0; i < pG->vexnum; i++) {
        printf("vertex(%d): ", i);
        pG->vexs[i] = read_char();
    }
    // 1. 初始化"边"的权值
    for (i = 0; i < pG->vexnum; i++) {
        for (j = 0; j < pG->vexnum; j++) {
            if (i==j) {
                pG->matrix[i][j] = 0;
            } else {
                pG->matrix[i][j] = INF;
            }
        }
    }
    // 2. 初始化"边"的权值: 根据用户的输入进行初始化
    for (i = 0; i < pG->edgnum; i++) {
        // 读取边的起始顶点，结束顶点，权值
        printf("edge(%d):", i);
        c1 = read_char();
        c2 = read_char();
        scanf("%d", &weight);

        p1 = get_position(*pG, c1);
        p2 = get_position(*pG, c2);
        if (p1==-1 || p2==-1) {
            printf("input error: invalid edge!\n");
            free(pG);
            return NULL;
        }
        pG->matrix[p1][p2] = weight;
        pG->matrix[p2][p1] = weight;
    }
    return pG;
}
/*
 * 创建图(用已提供的矩阵)
 */
Graph* create_example_graph() {
    char vexs[] = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
    int matrix[][9] = {
             /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
      /*A*/ {   0,  12, INF, INF, INF,  16,  14},
      /*B*/ {  12,   0,  10, INF, INF,   7, INF},
      /*C*/ { INF,  10,   0,   3,   5,   6, INF},
      /*D*/ { INF, INF,   3,   0,   4, INF, INF},
      /*E*/ { INF, INF,   5,   4,   0,   2,   8},
      /*F*/ {  16,   7,   6, INF,   2,   0,   9},
      /*G*/ {  14, INF, INF, INF,   8,   9,   0}};
    int vlen = LENGTH(vexs);
    int i, j;
    Graph* pG;

    // 输入"顶点数"和"边数"
    if ((pG=(Graph*)malloc(sizeof(Graph))) == NULL ) {
        return NULL;
    }
    memset(pG, 0, sizeof(Graph));
    // 初始化"顶点数"
    pG->vexnum = vlen;
    // 初始化"顶点"
    for (i = 0; i < pG->vexnum; i++) {
        pG->vexs[i] = vexs[i];
    }
    // 初始化"边"
    for (i = 0; i < pG->vexnum; i++) {
        for (j = 0; j < pG->vexnum; j++) {
            pG->matrix[i][j] = matrix[i][j];
        }
    }
    // 统计边的数目
    for (i = 0; i < pG->vexnum; i++) {
        for (j = 0; j < pG->vexnum; j++) {
            if (i!=j && pG->matrix[i][j]!=INF) {
                pG->edgnum++;
            }
        }
    }
    pG->edgnum /= 2;
    return pG;
}
/*
 * 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
 */
static int first_vertex(Graph G, int v) {
    int i;
    if (v<0 || v>(G.vexnum-1)) {
        return -1;
    }
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++) {
         if (G.matrix[v][i]!=0 && G.matrix[v][i]!=INF) {
             return i;
         }
    }
    return -1;
}
/*
 * 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
 */
static int next_vertix(Graph G, int v, int w) {
    int i;
    if (v<0 || v>(G.vexnum-1) || w<0 || w>(G.vexnum-1)) {
        return -1;
    }
    for (i = w + 1; i < G.vexnum; i++) {
        if (G.matrix[v][i]!=0 && G.matrix[v][i]!=INF) {
            return i;
        }
    }
    return -1;
}
/*
 * 深度优先搜索遍历图的递归实现
 */
static void DFS(Graph G, int i, int *visited) {                                   
    int w; 
    visited[i] = 1;
    printf("%c ", G.vexs[i]);
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点。若是没有访问过，那么继续往下走
    for (w = first_vertex(G, i); w >= 0; w = next_vertix(G, i, w)) {
        if (!visited[w]) {
            DFS(G, w, visited);
        }
    }
}
/*
 * 深度优先搜索遍历图
 */
void DFSTraverse(Graph G) {
    int i;
    int visited[MAX];       // 顶点访问标记
    // 初始化所有顶点都没有被访问
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        visited[i] = 0;
    }
    printf("DFS: ");
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        //printf("\n== LOOP(%d)\n", i);
        if (!visited[i]) {
            DFS(G, i, visited);
        }
    }
    printf("\n");
}
/*
 * 广度优先搜索（类似于树的层次遍历）
 */
void BFS(Graph G) {
    int head = 0;
    int rear = 0;
    int queue[MAX];     // 辅组队列
    int visited[MAX];   // 顶点访问标记
    int i, j, k;
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        visited[i] = 0;
    }
    printf("BFS: ");
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        if (!visited[i]) {
            visited[i] = 1;
            printf("%c ", G.vexs[i]);
            queue[rear++] = i;  // 入队列
        }
        while (head != rear) {
            j = queue[head++];  // 出队列
            for (k = first_vertex(G, j); k >= 0; k = next_vertix(G, j, k)) { //k是为访问的邻接顶点
                if (!visited[k]) {
                    visited[k] = 1;
                    printf("%c ", G.vexs[k]);
                    queue[rear++] = k;
                }
            }
        }
    }
    printf("\n");
}
/*
 * 打印矩阵队列图
 */
void print_graph(Graph G) {
    int i,j;
    printf("Martix Graph:\n");
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        for (j = 0; j < G.vexnum; j++) {
            printf("%10d ", G.matrix[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}
/*
 * prim最小生成树
 *
 * 参数说明：
 *       G -- 邻接矩阵图
 *   start -- 从图中的第start个元素开始，生成最小树
 */
void prim(Graph G, int start) {
    int min,i,j,k,m,n,sum;
    int index=0;         // prim最小树的索引，即prims数组的索引
    char prims[MAX];     // prim最小树的结果数组
    int weights[MAX];    // 顶点间边的权值

    // prim最小生成树中第一个数是"图中第start个顶点"，因为是从start开始的。
    prims[index++] = G.vexs[start];

    // 初始化"顶点的权值数组"，
    // 将每个顶点的权值初始化为"第start个顶点"到"该顶点"的权值。
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++ ) {
        weights[i] = G.matrix[start][i];
    }
    // 将第start个顶点的权值初始化为0。
    // 可以理解为"第start个顶点到它自身的距离为0"。
    weights[start] = 0;

    for (i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        // 由于从start开始的，因此不需要再对第start个顶点进行处理。
        if(start == i) {
            continue;
        }
        j = 0;
        k = 0;
        min = INF;
        // 在未被加入到最小生成树的顶点中，找出权值最小的顶点。
        while (j < G.vexnum) {
            // 若weights[j]=0，意味着"第j个节点已经被排序过"(或者说已经加入了最小生成树中)。
            if (weights[j] != 0 && weights[j] < min) {
                min = weights[j];
                k = j;
            }
            j++;
        }
        // 经过上面的处理后，在未被加入到最小生成树的顶点中，权值最小的顶点是第k个顶点。
        // 将第k个顶点加入到最小生成树的结果数组中
        prims[index++] = G.vexs[k];
        // 将"第k个顶点的权值"标记为0，意味着第k个顶点已经排序过了(或者说已经加入了最小树结果中)。
        weights[k] = 0;
        // 当第k个顶点被加入到最小生成树的结果数组中之后，更新其它顶点的权值。
        for (j = 0 ; j < G.vexnum; j++) {
            // 当第j个节点没有被处理，并且需要更新时才被更新。
            if (weights[j] != 0 && G.matrix[k][j] < weights[j]) {
                weights[j] = G.matrix[k][j];
            }
        }
    }
    // 计算最小生成树的权值
    sum = 0;
    for (i = 1; i < index; i++) {
        min = INF;
        // 获取prims[i]在G中的位置
        n = get_position(G, prims[i]);
        // 在vexs[0...i]中，找出到j的权值最小的顶点。
        for (j = 0; j < i; j++) {
            m = get_position(G, prims[j]);
            if (G.matrix[m][n]<min) {
                min = G.matrix[m][n];
            }
        }
        sum += min;
    }
    // 打印最小生成树
    printf("PRIM(%c)=%d: ", G.vexs[start], sum);
    for (i = 0; i < index; i++) {
        printf("%c ", prims[i]);
    }
    printf("\n");
}
/* 
 * 获取图中的边
 */
EData* get_edges(Graph G) {
    int i,j;
    int index=0;
    EData *edges;

    edges = (EData*)malloc(G.edgnum*sizeof(EData));
    for (i=0;i < G.vexnum;i++) {
        for (j=i+1;j < G.vexnum;j++) {
            if (G.matrix[i][j]!=INF) {
                edges[index].start  = G.vexs[i];
                edges[index].end    = G.vexs[j];
                edges[index].weight = G.matrix[i][j];
                index++;
            }
        }
    }
    return edges;
}
/* 
 * 对边按照权值大小进行排序(由小到大)
 */
void sorted_edges(EData* edges, int elen) {
    int i,j;
    for (i=0; i<elen; i++) {
        for (j=i+1; j<elen; j++) {
            if (edges[i].weight > edges[j].weight) {
                // 交换"第i条边"和"第j条边"
                EData tmp = edges[i];
                edges[i] = edges[j];
                edges[j] = tmp;
            }
        }
    }
}
/*
 * 获取i的终点
 */
int get_end(int vends[], int i) {
    while (vends[i] != 0) {
        i = vends[i];
    }
    return i;
}
/*
 * 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树
 */
void kruskal(Graph G) {
    int i,m,n,p1,p2;
    int length;
    int index = 0;          // rets数组的索引
    int vends[MAX]={0};     // 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。
    EData rets[MAX];        // 结果数组，保存kruskal最小生成树的边
    EData *edges;           // 图对应的所有边

    // 获取"图中所有的边"
    edges = get_edges(G);
    // 将边按照"权"的大小进行排序(从小到大)
    sorted_edges(edges, G.edgnum);
    for (i=0; i<G.edgnum; i++) {
        p1 = get_position(G, edges[i].start);   // 获取第i条边的"起点"的序号
        p2 = get_position(G, edges[i].end);     // 获取第i条边的"终点"的序号

        m = get_end(vends, p1);                 // 获取p1在"已有的最小生成树"中的终点
        n = get_end(vends, p2);                 // 获取p2在"已有的最小生成树"中的终点
        // 如果m!=n，意味着"边i"与"已经添加到最小生成树中的顶点"没有形成环路
        if (m != n) {
            vends[m] = n;                       // 设置m在"已有的最小生成树"中的终点为n
            rets[index++] = edges[i];           // 保存结果
        }
    }
    free(edges);
    // 统计并打印"kruskal最小生成树"的信息
    length = 0;
    for (i = 0; i < index; i++) {
        length += rets[i].weight;
    }
       
    printf("Kruskal=%d: ", length);
    for (i = 0; i < index; i++)
        printf("(%c,%c) ", rets[i].start, rets[i].end);
    printf("\n");
}

/*
 * Dijkstra最短路径。
 * 即，统计图(G)中"顶点vs"到其它各个顶点的最短路径。
 *
 * 参数说明：
 *        G -- 图
 *       vs -- 起始顶点(start vertex)。即计算"顶点vs"到其它顶点的最短路径。
 *     prev -- 前驱顶点数组。即，prev[i]的值是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径所经历的全部顶点中，位于"顶点i"之前的那个顶点。
 *     dist -- 长度数组。即，dist[i]是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径的长度。
 */
void dijkstra(Graph G, int vs, int prev[], int dist[]) {
    int i,j,k;
    int min;
    int tmp;
    int flag[MAX];      // flag[i]=1表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取。
    // 初始化
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        flag[i] = 0;              // 顶点i的最短路径还没获取到。
        prev[i] = 0;              // 顶点i的前驱顶点为0。
        dist[i] = G.matrix[vs][i];// 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。
    }
    // 对"顶点vs"自身进行初始化
    flag[vs] = 1;
    dist[vs] = 0;
    // 遍历G.vexnum-1次；每次找出一个顶点的最短路径。
    for (i = 1; i < G.vexnum; i++) {
        // 寻找当前最小的路径；
        // 即，在未获取最短路径的顶点中，找到离vs最近的顶点(k)。
        min = INF;
        for (j = 0; j < G.vexnum; j++) {
            if (flag[j]==0 && dist[j]<min) {
                min = dist[j];
                k = j;
            }
        }
        // 标记"顶点k"为已经获取到最短路径
        flag[k] = 1;
        // 修正当前最短路径和前驱顶点
        // 即，当已经"顶点k的最短路径"之后，更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。
        for (j = 0; j < G.vexnum; j++) {
            tmp = (G.matrix[k][j]==INF ? INF : (min + G.matrix[k][j])); // 防止溢出
            if (flag[j] == 0 && (tmp  < dist[j]) ) {
                dist[j] = tmp;
                prev[j] = k;
            }
        }
    }
    // 打印dijkstra最短路径的结果
    printf("dijkstra(%c): \n", G.vexs[vs]);
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        printf("  shortest(%c, %c)=%d\n", G.vexs[vs], G.vexs[i], dist[i]);
    }
}

int main(void) {
    int prev[MAX] = {0};
    int dist[MAX] = {0};
    Graph* pG;
    // 自定义"图"(输入矩阵队列)
    //pG = create_graph();
    // 采用已有的"图"
    pG = create_example_graph();
    //print_graph(*pG);       // 打印图
    //DFSTraverse(*pG);       // 深度优先遍历
    //BFS(*pG);               // 广度优先遍历
    //prim(*pG, 0);           // prim算法生成最小生成树
    //kruskal(*pG);           // kruskal算法生成最小生成树
    // dijkstra算法获取"第4个顶点"到其它各个顶点的最短距离
    dijkstra(*pG, 3, prev, dist);
}